5.3 REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

 Ahora toca hablar sobre este tema más que interesante, por lo que me di a la tarea de navegar y buscar información. Para empezar, lo asocié inmediatamente al escuchar su nombre con un tema que ha sido constante en los últimos temas que hemos aprendido en esta materia llamada álgebra lineal, dicho tema son las matrices.

No hay mejor manera de partir a la explicación de un tema que empezando por definirle, la representación matricial de una transformación lineal se define como:

"Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea     T: V→W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V".

Esto puede parecer algo complicado de interpretar, sin embargo, plantearé a medida de que avance este post una serie de ejemplos encontrados en la web, además de agregar material de apoyo para que así sea más fácil el entendimiento de este tema.

A continuación se muestra un ejemplo que encontré, este ejemplo se me hizo bastante interesante, ya que nos muestra un proceso más completo y nos permite analizar e interpretarle de una manera más sencilla.

Ahora que ya partimos con un ejemplo, me dispongo a presentar la siguiente información sobre el tema:

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN DE PROYECCIÓN

Para obtener la representación matricial de una transformación de proyección, donde se toma un vector y se proyecta sobre otro plano, se toma el vector original y se multiplica por una matriz de identidad de acuerdo al plano en el que se quiere proyectar. Por ejemplo, la proyección de un vector en R3 sobre un plano xy se representaría como:

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN R3 EN R4

La T representa la transformación, que será representada por AT, mientras que la matriz a su lado representa el vector original. El resultado es la transformación realizada. Para poder representarla de forma matricial lo que se debe obtener es la matriz de transformación. Ya una vez que se obtiene, se pueden determinar otros datos como el núcleo y la imagen de la transformación.

Para este caso, utilizando el resultado de la transformación, se puede determinar fácilmente la matriz de transformación, separando el vector original y determinando las operaciones que se realizaron:

Y su representación quedaría como la matriz de transformación multiplicando al vector original para dar como resultado la transformación:

A continuación se adjunta un vídeo de apoyo sobre un ejercicio similar al anteriormente planteado.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN R3 EN R3

De la misma forma que se realizó la representación matricial de R3 a R4, a partir del resultado se obtiene la matriz de transformación, solo que en este caso no se aumenta el número de vectores, solo se transforman los tres originales a tres nuevos.

A continuación, un vídeo el cual ejemplifica este último ejercicio, cabe recalcar que dependiendo de la representación que se trabaje es el tiempo de elaboración del ejercicio.

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN CERO

Si T es la transformación cero de RN → RM , entonces AT es la matriz cero de mxn. Una transformación cero siempre da como resultado cero, es una operación que convierte el valor original a un cero. La manera de representarlo de forma matricial es con una matriz cero:

Si bien hasta este punto se ha desarrollado el tema en su mayoría utilizando matrices, no es el único caso, ya que se pueden presentar algunos casos en los que se utilizan polinomios, en lo personal encontré algo de información pero resulta algo confusa, por lo que me he dado a la tarea de buscar un vídeo que explique claramente el punto y le he encontrado:

Espero que hasta este punto todo lo que decidí agregar sobre este tema esté siendo útil para los lectores que aquí se encuentran, espero que cualquier duda, comentario o aporte sea externado en la sección de comentarios, esto para aumentar la interacción como comunidad.