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5.1 Definición de transformación lineal.
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DEFINICION DE TRANSFORMACION LINEAL
Una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales.
Tenemos dos espacios vectoriales “V” y “W”, y una función que va de “V” a “W”. O sea una regla de asignación que transforma vectores de “V” en vectores de “W” .
Pero no toda función que transforme vectores de “V” en vectores de “W” es una transformación lineal.
- Debe cumplir ciertas condiciones para esto:
F:V→W es una transformación lineal si y sólo si:
F(u+v)=F(u)+F(v)∀u,v∈V
F(k.v)=k.F(v)∀v∈V,∀k∈R
Propiedades de una transformación lineal
Propiedad 1
La imagen del vector nulo del dominio 0V es el vector nulo del codominio 0w:
T(0V)=0w
Demostración:
T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W
Donde hemos expresado a 0V como el producto del escalar 0 por cualquier vector del espacio vectorial V, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.
Propiedad 2
La imagen del vector –v es igual al opuesto de la imagen de v:
T(–v)=–T(v)
Demostración:
T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)
La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.
Propiedad 3
Consideremos r vectores del espacio vectorial V:
v1,v2,…,vr∈V
Tomemos una combinación lineal en el dominio:
α1v1+α2v2+α3v3+...+αrvr
Donde αi∈R.
Si aplicamos la transformación lineal F de V a W, teniendo en cuenta las propiedades enunciadas en la definición, resulta:
Es decir que una transformación lineal «transporta» combinaciones lineales de V a W, conservando los escalares de la combinación lineal.
EJEMPLOS
Ejemplo de Transformaciones Lineales
La parte de definición no es tan extensa, ya que se presentan mas subtemas que abarcan en este tema, por el momento a sido todo, espero que esta información haya sido clara. Muchas gracias.
Una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales.
Tenemos dos espacios vectoriales “V” y “W”, y una función que va de “V” a “W”. O sea una regla de asignación que transforma vectores de “V” en vectores de “W” .
NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL Por este medio quiero dar a entender y que conozcan los conceptos fundamentales, como núcleo e imagen de una transformación lineal así como unos ejemplos de como se emplea cada uno de estos temas ya sea el núcleo o la imagen. Este tema puede ser un poco complicado pero a medida que vayas indagando sobre este tema en este foro te darás cuenta que solo tenemos que aplicar las formulas y te serán mas sencillas de analizarlas y resolver los problemas que te plantee el profesor solo es cuestión que como aplicar la formula con los problemas. En matemáticas una aplicación lineal , es una aplicación entre dos espacios vectoriales , que preserva las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar. Se denomina aplicación lineal, función lineal, transformación lineal, u operador lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales, tal que satisfaga...
Antes de comenzar hay que dejar en claro lo que es una transformación lineal y es que está es una función. Además, por ser función tiene dominio y co-dominio, con la particularidad de que éstos son unos espacios vectoriales. Ahora bien, para finalizar con este tema de transformaciones lineales, cerramos con su aplicación el cual tiene que ver con cuatro puntos que se presentarán a continuación: REFLEXIÓN Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, la llamamos reflexión del conjunto de puntos dados. También se realiza con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual. EJEMPLO: Sea V= (2,5) aplique la reflexión con respecto al eje Y FÓRMULA Sustituyendo DILA...
Ahora toca hablar sobre este tema más que interesante, por lo que me di a la tarea de navegar y buscar información. Para empezar, lo asocié inmediatamente al escuchar su nombre con un tema que ha sido constante en los últimos temas que hemos aprendido en esta materia llamada álgebra lineal, dicho tema son las matrices. No hay mejor manera de partir a la explicación de un tema que empezando por definirle, la representación matricial de una transformación lineal se define como: " Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea T: V→W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V". Esto puede parecer algo complicado de interpretar, sin embargo, plantearé a medida de que avance este post una serie de ejemplos encontrados en la web, además de agregar material de apoyo para que así sea más fácil el ent...
¿Con que condiciones debe cumplir una transformación lineal?
ResponderBorrarCon 2 reglas que se tienen, las cuales son:
Borrar1. F(u+v)=F(u)+F(v)∀u,v∈VF(u+v)=F(u)+F(v) ∀u,v∈V
2. F(k.v)=k.F(v)∀v∈V,∀k∈RF(k.v)=k.F(v) ∀v∈V, ∀k∈R
¿Que es una transformacion lineal?
ResponderBorrarUna transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales.
Borrar¿Las funciones que se transforman en vectores V en vectores de W son transformaciones lineales?
ResponderBorrarNo todas las funciones.
Borrar¿Cómo identificar una transformación lineal?
ResponderBorrarCumpliendo las 3 propiedades
Borrar¿Cuántas propiedades tiene una transformación lineal?
ResponderBorrarSon 3 las que se tiene
Borrar¿Cuáles son los espacios vectoriales que están en la transformación lineal?
ResponderBorrarTenemos dos espacios vectoriales “V” y “W”, y una función que va de “V” a “W”. O sea una regla de asignación que transforma vectores de “V” en vectores de “W” .
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